Quinconce (2)

Francis Galton (16 febbraio 1822-17 gennaio 1911), di cui abbiamo già parlato su questo blog, è stato un Leonardo da Vinci del XIX secolo.

Si è occupato un po’ di tutto. A 2 anni impara a leggere, a 5 sa latino greco e divisioni a più cifre. Suo nonno è Erasmus Darwin e dunque è cugino di Charles. Da giovane, dopo un paio di lauree, si dedica ai viaggi, prima per diletto e poi per interesse scientifico: esplora l’attuale Namibia e pubblica un prontuario per il viaggiatore vittoriano (The Art of Travel).

Nel 1853 si sposa e diventa stanziale. Si occupa di meteorologia e introduce la teoria degli anticicloni. Si occupa di criminologia e inventa il sistema delle impronte digitali. Si occupa di ereditarietà e inventa il termine “eugenetica” e la locuzione “nature versus nurture” (noi diciamo “natura e cultura”). Si occupa di razze canine e inventa il fischietto a ultrasuoni. Si occupa di statistica e promuove l’uso dei questionari e sviluppa le teorie della correlazione e della regressione alla media.

Sir Francis Galton

wikipedia.org

Intorno al 1873 si inventa una macchina per illustrare in modo meccanico come si produce la curva normale e la chiama quincunx. Qui sotto un disegno di Karl Pearson (allievo e successore di Galton) ricostruito a partire dagli schizzi originale del nostro:

Se la fa costruire da un artigiano e se ritrovo la foto la metto qui.

La macchina è un piano inclinato o verticale di legno con file di chiodi disposti a quinconce (di qui il nome). Una pallina che cade dall’alto, ogni volta che colpisce un chiodo è deviata a destra o sinistra con probabilità 1/2. Sul fondo, cade in uno dei ricettacoli di ampiezza unitaria. Via via che l’esperimento viene ripetuto, l’altezza delle colonne di palline approssima la curva normale.

Se, nel suo percorso, una pallina rimbalza k volte a destra (e il resto delle volte a sinistra) cade nel k-esimo ricettacolo da sinistra. Se ci sono n file di chiodi, il numero di possibili percorsi dall’inizio al k-esimo ricettacolo sul fondo dato dal coefficiente binomiale:

{n\choose k}

E se per una pallina la probabilità di essere sbalzata a destra è p (0,5 in una macchina equa), la probabilità finale di cadere nel k-esimo ricettacolo è la distribuzione binomiale:

{n\choose k} p^k (1-p)^{n-k}

La distribuzione binomiale approssima la normale al crescere di n.

Galton parla della sua macchina in una conferenza tenuta il 9 febbraio 1877 “On Typical Laws of Heredity” alla Royal Institution e poi pubblicata sui Proceedings e su Nature.

Questo il disegno originale che illustra l’articolo:

Nel 1889, in Natural Inheritance, riprende il concetto e lo applica alla distribuzione normale, piuttosto che alla regressione alla media. Leggiamo le sue parole:

It is a frame glazed in front, leaving a depth of about a quarter of an inch behind the glass. Strips are placed in the upper part to act as a funnel. Below the outlet of the funnel stand a succession of rows of pins stuck squarely into the backboard, and below these again are a series of vertical compartments.

A charge of small shot is inclosed. When the frame is held topsy-turvy, all the shot runs to the upper end; then, when it is turned back into its working position, the desired action commences. Lateral strips, shown in the diagram, have the effect of directing all the shot that had collected at the upper end of the frame to run into the wide mouth of the funnel.

The shot passes through the funnel and issuing from its narrow end, scampers deviously down through the pins in a curious and interesting way; each of them darting a step to the right or left, as the case may be, every time it strikes a pin. The pins are disposed in a quincunx fashion, so that every descending shot strikes against a pin in each successive row. The cascade issuing from the funnel broadens as it descends, and, at length, every shot finds itself caught in a compartment immediately after freeing itself from the last row of pins.

[…]

The Curve of Frequency, and that of Distribution, are convertible: therefore if the genesis of either of them can be made clear, that of the other becomes also intelligible. I shall now illustrate the origin of the Curve of Frequency, by means of an apparatus shown in Fig. 7, that mimics in a very pretty way the conditions on which Deviation depends.

[…]

The outline of the columns of shot that accumulate in the successive compartments approximates to the Curve of Frequency, and is closely of the same shape however often the experiment is repeated. The outline of the columns would become more nearly identical with the Normal Curve of Frequency, if the rows of pins were much more numerous, the shot smaller, and the compartments narrower; also if a larger quantity of shot was used.

he principle on which the action of the apparatus depends is, that a number of small and independent accidents befall each shot in its career.

In rare cases, a long run of luck continues to favour the course of a particular shot towards either outside place, but in the large majority of instances the number of accidents that cause Deviation to the right, balance in a greater or less degree those that cause Deviation to the left.

Therefore most of the shot finds its way into the compartments that are situated near to a perpendicular line drawn from the outlet of the funnel, and the Frequency with which shots stray to different distances to the right or left of that line diminishes in a much faster ratio than those distances increase.

This illustrates and explains the reason why mediocrity is so common. (pp. 63-65).

Sul web potete trovare molte simulazioni della macchina di Galton: provate questa.

Galton ha anche un sito dove si trova assolutamente tutto!

Pubblicato su Parole, Statistica. 1 Comment »

Una Risposta to “Quinconce (2)”

  1. Il barbarico re Says:

    Quale fisico non ha giocato almeno una volta con questo attrezzo durante le esercitazioni di fisichetta del primo anno?
    Nella sua forma senza iterazioni si usa per studiare la binomiale e si chiama affettuosamente pallinometro.


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